ხალხს ყოველთვის აინტერსებს “რა დროს ესაა?”. მაგრამ არასოდეს – “რა დრო ესაა?”.
მართლაც, ჩემო კარგო, რა დროზე მელაპარაკები, რაიმეგვარ შინაგან ინტუიციაზე თუ ყოველგვარი დამკვირვებელ-დასაკვირვებელისა და ცვლილების გარეშე არსებულ იდეაზე? უკანასკნელი შეკითხვის პირველ ნაწილზე პასუხის გაცემას არც შევეცდები, მაგრამ თუკი მომედავებით, დრო ცვლილების გარეშეც შეიძლება გვქონდეს, ცარიელ სივრცეში დრო მაინც გადისო… გადიოდეს. იმაზე მაინც ვერ შემეწინააღმდეგებით, რომ მას ცვლილების დასახასიათებლად ვიყენებთ.
მე რომ გადავადგილდები, სივრცის ერთ წერტილიდან მეორეში მივდივარ, ვიცვლი კოორდინატს. ამას შეიძლება შეხედოთ, როგორც ორ განსხვავებულ სურათს, ერთი – როდესაც ჩემს ოთახში ვარ და მეორე – ღია მაცივართან. როგორც არ უნდა გწამდეთ ჩემი შესაძლებლობების, დამეთანხმებით, ამას “მომენტალურად” ვერ მოვახერხებ. ამისთვის საჭიროა “გადავლახო” სივრცე ჩემსა და მაცივარს შორის, დავიწყო მოძრაობა, დავხარჯო დრო (რომელიც მეცადინეობისთვის უნდა მომეხმარა).
აქ უკვე შემოვიდა “სიჩქარე” თავისი კლასიკური გაგებით: \( V = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) – ერთეულ დროში გავლილი მანძილი, ანუ რამხელა სივრცე გადავლახე დახარჯულ დროში. ჩნდება კითხვა: რას ფიქრობს ის ეშმაკი, რომელიც მხარზე მაზის და უკვირს დღეში რამდენჯერ შეიძლება ამ ოპერაციის გამეორება? იტყვის თუ არა ის, რომ ასეთი ჩქარი მორბენალი ჯერ არ უნახავს? ცხადია, არა! ის იტყვის, რომ ასე ჩქარა მორბენალი მაცივარი ჯერ არ უნახავს.
კარგად რომ დავფიქრდეთ, მართალიც იქნება. ის ჩემს მხარზე ზის და, შესაბამისად, რაც არ უნდა მოვინდომო, მას ვერ გავექცევი. თვალსაჩინოებისთვის განვიხილოთ, თუ როგორ აკვირდება აიზენგარდის კოშკიდან ჯადოქარი სარუმანი ხეზე ჩამომსხდარ ჰობიტებს და გაჭენებულ ჯუჯას და ელფს. როგორც ეშმაკი ჩემზე, ისევე ვერ იტყვის მხედრის უკან მჯდომი ჯუჯა ცხენზე, ნახე, რა სიჩქარით მიქრისო. ეს ჯუჯა ხომ ცხენს და მხედარსაა მიწებებული! თუმცა, გაიხედავ და გვერდით ხეები ისე გარბიან, თითქოს აიზენგარდი უნდა დაანგრიონო. კიდევ ერთხელ თუ შევიცვლით “დაკვირვების ჩარჩოს”, ათვლის სისტემას და შევხედავთ მიმავალ მანქანას ამ ხეზე მჯდარი ჰობიტების თვალიდან, დავინახავთ, რომ ხე არსადაც არ გარბის, რადგან ისე სხედან პატივცემულები ამ ხის ტოტებზე, როგორც ეშმაკი – ჩემს მხარზე, რადგან არც ხესა და ჰობიტებს შორის არ იცვლება მანძილი. შესაბამისად, ისინი ხედავენ, როგორ მიქრიან მხედრები და როგორ მოდის ნელ-ნელა მათკენ აიზენგარდის ციხესიმაგრე. თუმცა რას დაინახავს ციხესიმაგრის თავზე მდგომი სარუმანი? ცხადია, ის დაინახავს სრულ განუკითხაობას – ჯუჯა და ელფი ერთ ცხენზე სხედან, ხეებმა ალყა შემოარტყეს და ნელ-ნელა უახოლოვდებიან!
წინა აბზაცში მოცემული სიტუაციები მარტო იმით არაა დამაბნეველი, რომ ჯუჯა და ელფი მეგობრობენ ან რომ ხეები დადიან. თუმცა ინტუიციურად შეგვექმნა გარკვეული წარმოდგენა, აღწერილი მაინც გაუგებარია იმ თვალსაზრისით, თუ რის მიმართ მოძრაობაზე ვსაუბრობთ – სარუმანი ხედავს როგორ მიქრის ცხენი, მაგრამ ის ჯუჯისთვის გაჩერებულია. გვეგონა, ხე გაჩერებულიაო, მაგრამ ვიღაცისთვის (სარუმანისთვის) მასე არ ყოფილა. მაგრამ, სწორედ შევნიშნავდით ხის გაჩერებულობას თუ ჩვენც ამ ხის ტოტებზე ვისხდებოდით. ამტომაცაა აუცილებელი განვიხილოთ მოძრაობა “დამკვირვებლის” მიმართ, ვიქნებით ეს დამკვირვებელი ჩვენ, სარუმანი, ჯუჯა თუ ჰობიტი. ჩვენ ავირჩიოთ “გაჩერებულ” დამკვირვებლად ჯადოქარი სარუმანი და შემდეგ განვიხილოთ როგორ იმოძრავებენ ხე ჰობიტებით და მხედრები.
კიდევ ერთი მაგალითი: წარმოვიდგენოთ რიცხვით ღერძზე მოძრავი ჭიანჭველა. შეგვიძლია, ვთქვათ, რომ ის მოძრაობს “ნულის” მიმართ და, მაგალითად, გადის ერთ ერთეულს ერთ წამში.
მაგრამ რა მოხდება, თუ შემოვიღებთ მეორე რიცხვით ღერძს და პირველს ავამოძრავებთ? მაშინ მეორე რიცხვითი ღერძის “ნულის” (სათავის) მიმართ პირველი “ნული” იმოძრავებს და დავუშვათ, ეს “ნულიც” მეორე ღერძზე არსებული “ნულის” მიმართ ერთი ერთეულით გადაადგილდება ერთ წამში. რადგან ამ პირველი “ნულის” მიმართ ისედაც მოძრაობს პირველ ღერძზე მჯდარი ჭიანჭველა, მეორე “გაჩერებული” ღერძის “ნულს” მოეჩვენება, რომ ჭიანჭველა უფრო ჩქარა მოძრაობს. უკვე ის გადაადგილდება ორი ერთეულით ერთ წამში.
მათემატიკურად ეს შემდეგნაირად წარმოდგინდება: \(x_{ჭ2} = x_{ჭ1} + V_ღt\). სადაც \( x_{ჭ2}\) არის ჭიანჭველას კოორდინატი დანახული როგორც მეორე ღერძიდან, \( x_{ჭ1}\) – იგივე დანახული პირველი ღერძიდან და \( V_ღ\) არის პირველი ღერძის სიჩქარე მეორეს მიმართ. ზუსტად ასე მოიცემა გალილეოს გარდაქმნები:
(1) \( x’ = x + V_0 \Delta t\)
აქ უკვე \(x\) არის მოძრავი ( \(K\)) სისტემიდან დანახული სხეულის კოორდინატი, \(V_0\) ( \( V_ღ\) ) ამ \(K\) სისტემის სიჩქარე (შტრიხიანი) \(K’\) სისტემის მიმართ. ხოლო \(x’\) არის სხეულის კოორდინატი დანახული \(K’\) სისტემიდან.
ზუსტად ასევე, მეორე, “გაჩერებულ ნულში” დგას “გაჩერებული” დამკვირვებელი სარუმანი. პირველი ღერძის ნულში არიან ხე და ჰობიტები, ჭიანჭველასავით კი მიქრიან მხედრები. ანალოგიურად შეგვეძლო ხე ან ცხენი დაგვეყენებინა გაჩერებულ “ნულში” და ემოძრავათ დანარჩენებს. მოძრაობა ფარდობითია, ყველას ჰგონია სხვები მოძრაობენ. ზემოთ ზუსტად ამას დავუძახეთ მოძრაობის განხილვა დამკვირვებლის მიმართ.
ანალოგიურად მივიღებთ დროის გარდაქმნის ფორმულებს. წარმოიდგინეთ, რომ სარუმანმა თავის ციხე კოშკზე დათვლა დაიწყო მზის ამოსვლისას. როდესაც ფანგორნის ტყეში გამოღვიძებულმა ზარმაცმა ჰობიტებმაც დაიწყეს დათვლა, სარუმანი უკვე ორ ათასამდე ასულიყო და ითვლიდა: “2001, 2002, 2003…” ჰობიტები კი ითვლიდნენ: “1, 2, 3…” მაშ, თუკი ჩვენ ვფლობთ ამ ინფორმაციას და გვაინტერესებს, სადამდე არიან ჰობიტები მისული თუ საურონი 2020-ს მიადგა, პასუხი შემდეგი იქნება: \( N_{ჰობიტი} = N_{საურონი} – 2000\). მაგრამ თუ ჩვენ გვაინტერესებს რამდენი “წამი” გავიდა სარუმანისთვის და რამდენი ჰობიტისთვის, როცა ჰობიტები ათამდე ავიდნენ, თუკი ისინი ერთნაირი ტემპით ითვლიან, შედეგად გვექნება: \( \Delta t_{ჰობიტი} = \Delta t_{საურონი}\). ზოგადად კი, გალილეოსთვის დრო შემდეგნაირად გარდაიქმნება:
(2) \(\Delta t = \Delta t’ \)
ჩვენ უკვე გვაქვს დრო-სივრცის გალილეოს გარდაქმნის კანონები. იმის გათვალისწინებით, რომ \( V’ = \frac{\Delta x’}{\Delta t’} \), მივიღებთ სიჩქარის გარდაქმნის კნონსაც:
\( V’ = \frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{V_{0}\Delta t}{\Delta t} = V + V_{0}\)
გარდაქმნა (2) ერთ ფრიად საგულისხმო რამეს გვეუბნება: დრო ყველგან ერთნაირად გადის! ანუ გალილეო მეუბნება, რომ “პროგრამირების” ლექციაზეც ისე გადის დრო, როგორც – ბუნებისმეტყველებაზე. ფრიად მიუღებელი დებულებაა, თუმცა სხვა მიზეზის გამო. როგორც არ უნდა გეჩვენებოდეთ, რომ “ჯავას” ლექციები საუკუნე გრძელდება, ზუსტად ისე გადის დრო, როგორც სხვა საინტერესო ლექციებზე. ყოველ შემთხვევაში, ამას ასე გვეტყვიან საათები. ასეთია გალილეოს დრო-სივრცის გარდაქმენის კანონები.
მკითხველი, რომელიც რელატივიზმის სტატიისთვის შემოვიდა და გალილეოს გარდაქმნებს ხედავს, დაინტერესდება თუ “რა დროს ესაა?” მაგრამ მე შევუბრუნებ შეკითხვას, “რა დრო ესაა?” და დავიწყებთ რელატივისტური დროის შენელების გამოკვლევას.
პასუხი შეკითხვაზე “რა დრო ესაა?”, ტრადიციულად საათმა უნდა გაგვცეს. ამ საათებს ჩვენ განვათავსებთ როგორც სარუმანის კოშკის თავზე, ისე ლეგოლასის და გიმლის ცხენზე. ოღონდ, ეს არ იქნება ჩვეულებრივი საათი.
თუ გავიხსენებთ, ის რამაც მეცნიერები სრულ აგონიაში ჩააგდო, იყო აღმოჩენა, რომ სინათლის სიჩქარე არის მუდმივი, უფრო სწორად, ინვარიანტი. რაც ასეთ რამე ნიშნავს: თუ ზემოთ ნახსენები ჭიანჭველას მაგივრად გვექნებოდა სინათლის სხივი, რომელიც პირველი “ნულის” მიმართ იმოძრავებდა რაღაც სიჩქარით, მეორე “ნულის” მიმართაც, განსხვავებით ჭიანჭველისგან, იგივე სიჩქარე ექნებოდა. ცოტა სხვანაირად: შენ რომ სინათლის სხივს გაეკიდო, ის შენს მიმართ ისევე ჩქარა იმოძრავებს, როგორც მანამდე მოძრაობდა. სინათლის სიჩქარის ინვარიანტობა დადგინდა 1887 წლის საყოველთაოდ ცნობილი მაიკლსონ-მორლის ექსპერიმენტით.
მოდით, ავარჩიოთ შემდეგნაირი საათი: ორ სარკეს შორის მომწყვდეული სინათლის სხივი, რომელიც აირეკლება ქვედადან და წავა ზედასკენ, შემდეგ – პირიქით და ა.შ. შემდეგ კი გავზომავთ, რა დრო არის საჭირო, რომ ქვედა სარკიდან წასული სინათლე აირეკლოს ზედა სარკიდან და კვლავ დაუბრუნდეს ქვედა, საწყის წერტილს.
(3) \(\Delta t = \frac{2d}{c}\)
სადაც d არის მანძილი სარკეებს შორის, c – სინათლის გავრცელების სიჩქარე, t – სხივის ასვლა-ჩამოსვლისთვის საჭირო დრო.
ახლა განვიხილოთ ორი სხვადასხვა დამკვირვებლის სისტემა. სარუმანის სისტემა ფიქსირებული მისი კოშკის მიმართ (სისტემა სადაც მისი კოშკი უძრავია) და სისტემა ფიქსირებული ლეგოლასის და გიმლის ცხენის მიმართ. თავისი სისტემიდან სარუმანი უყურებს ლეგოლასს და გიმლის, რომლებიც მიაქროლებენ ცხენს და ხელში ასეთივე საათი უჭირავთ. ცხადია, ლეგოლასი და გიმლი ხელებში ისეთსავე საათს ხედავენ, როგორიც სარუმანს კოშკის თავზე უდგას. თუმცა სარუმანი დაინახავს, რომ სინათლე თითქოს დიაგონალზე მიდის, შემდეგ აირეკლება და ისევ დიაგონალურ მოძრაობას გააგრძელებს. გავიხსენოთ რელატივიზმის მთავარი პოსტულატი: სინათლის სიჩქარე ინვარიანტია! თუკი ნიუტონი და გალილეო გვეტყოდნენ, რომ სინათლის სიჩქარეს დაემატებოდა ცხენით მოძრაობის სიჩქარე და სარუმანი აჩქარებულ ან შენელებულ სხივს დაინახავდა, აინშტაინი, მაიკლსონი და მორლი გვეუბნებიან, რომ არა! სარუმანიც, უძრავი დამკვირვებელი, ხედავს ზუსტად იმავე სიჩქარით მოძრავ სინათლის სხივს.
კი ვამბობთ, რომ სინათლის სიჩქარე მუდმივია, მაგრამ, ამავდროულად, სარუმანი ხედავს, რომ გიმლის საათში სინათლეს ოდნავ დიდი მანძილის გავლა უწევს. ჰორიზონტალური გადაადგილება სურათში ტოლია: \(V \Delta t’ \), სადაც \( V \) არის ცხენის, ანუ მეორე, შტრიხიანი სისტემის მოძრაობის სიჩქარე და \( \Delta t’\) სარუმანის საათის მიხედვით ათვლილი დრო, რა დროშიც გიმლის და ლეგოლასის საათის სხივი დაუბრუნდა საწყის, ქვედა სარკეს. პითაგორას თეორემის დახმარებით ვპოულობთ, რომ სინათლის გასავლელი მანძილი იქნება: \( s = \sqrt{d^2 + l^2} = \sqrt{d^2 + \left(\frac{V \Delta t’}{2}\right)^2} \)
\( \Delta t’ =\frac{2s}{c} = \frac{2 \sqrt{d^2 + \left(V \Delta t /2\right)^2}}{c} \) \( \Rightarrow\) \( \frac{c \Delta t’}{2} = \sqrt{d^2 +\frac{V^2 t ^2}{4}} \)
მიღებული გამოსახულების კვადრატში აყვანით, მივიღებთ:
(4) \( \frac{c^2 \Delta t’^2}{4} = d^2 + \frac{V^2 \Delta t ^2 }{4} \)
გავიხსენოთ გამოსახულება (3): \(\Delta t = \frac{2d}{c}\). აქედან: \(d^2 = \frac{c^2 \Delta t ^2}{4}\). ამ შედეგის განტოლება (4)-ში ჩასმით მივიღებთ:
\( \frac{c^2 \Delta t’ ^2}{4} = \frac{c^2 \Delta t ^2}{4} + \frac{V^2 \Delta t ^2}{4}\)
მიღებული განტოლების 4-ზე გავამრავლება და \(с^2\)-ზე გაყოფა მოგვცემს:
\(\Delta t’ ^2 = \Delta t ^2 + \left(\frac{V}{c}\right)^2 \Delta t’^2\)
თუ განტოლების ორივე მხარეს გამოვაკლებთ \( \left(\frac{V}{c}\right)^2 \Delta t’ ^2\)- ს და შემდეგ ტოლობის მარცხენა მხარიდან \( \Delta t’ ^2\)-ს ფრჩხილებს გარეთ გავიტანთ, მივიღებთ:
\( \left(1 – \left( \frac{V}{c} \right)^2\right) \Delta t’ ^ 2 = \Delta t ^2 \Rightarrow \Delta t’^ 2 = \frac{\Delta t^2}{(1 – \left( \frac{V}{c} \right)^2}\)
და საბოლოოდ, ფესვის ამოღებით და აღნიშვნით (გამა) \(\gamma = \frac{1}{ \sqrt{1-\left(\frac{V}{c} \right)^2}}\), მივიღებთ საბოლოო ფორმულას:
\(\Delta t’ = \frac{\Delta t}{\sqrt{(1 – \left( \frac{V}{c} \right)^2}}\) ან
\(\Delta t’ = \gamma \Delta t\)
იმის გათვალისწინებით, რომ სინათლის სიჩქარე არის ბუნების მიერ დაწესებული შეზღუდვა და მასზე ჩქარი ჯერ არაფერი დაგვიფიქსირებია, დავინახავთ, რომ გამა, ყოველთვის მეტია ერთზე \(\gamma > 1\)
შედეგად, თუკი საურონის საათზე გავიდა 1 წუთი, გიმლის და ლეგოლასის საათზე დრო ერთ წუთზე ნაკლებს აფიქსირებს! მაგალითად, თუ ცხენს ისეთი სიჩქარით მიაჭენებენ ბატონები, რომ \(\gamma = 2\), მაშინ \(\Delta t’ = \frac{1}{2} \Delta t\) , ანუ, როდესაც სარუმანის საათზე ერთი წუთი გავიდოდა, ლეგოლასის და გიმლის საათი ნახევარ წუთს აითვლიდა. აღსანიშნავია, რომ ასეთი “ჩამორჩენა” დროში გვექნება თუ სიჩქარე \(V = \frac{c}{\sqrt{2}} \approx 211985280\) მ/წმ, რაც დამეთანხმებით, რომ ბევრი კი არა, ძაააალიან ბევრია! ამიტომაცაა, რომ ჩემს გარდა ვერავინ გრძნობს რელატივისტურ ეფექტებს 😊.
ეს შედეგი, რასაც დროის შენელება დავარქვით არის უფრო დიდი და ლამაზი თეორიის კერძო შემთხვევა. ესაა ლორენცის სივრცე-დროის გარდაქმნებში დროითი კომპონენტის გარდაქმნის კოორდინატზე დამოუკიდებელი სახე.
ამ შედეგიდან ძალიან ბევრი “პარადოქსული” შემთხვევის მოფიქრება შეიძლება, თუნდაც ის, რომ ამის უკან მდგარი გენიოსი სხვა ნაშრომში იღებს ნობელის პრემიას. მაგრამ ის პარადოქსები, როგორც წესი, ეწინააღმდეგებიან რომელიმე ძირითად პოსტულატს, ან ფორმულის გამოყვანაში გაკეთებულ დაშვებებს, რომ, მაგალითად, მოძრაობა არის თანაბარი და არ არის აჩქარებული. ასევე საინტერესო შედეგს ვღებულობთ დაშვებით, რომ მოიძებნება სინათლეზე ჩქარი ნაწილაკი – “ტახიონი”. ლორენცის გარდაქმნებს, ამ პარადოქსებს და დაშვებებს სხვა დროს აუცილებლად განვიხილავთ.
