რატომ ვრცელდება ეპიდემია ექსპონენტურად

როგორც წესი, როცა საქმე ადამიანებს ეხებათ, ძალიან რთულია კანონზომიერების დაჭერა. ფიზიკოსების ტერმინით, ადამიანების კოლექტივს, როგორც ფიზიკურ სისტემას, ძალიან მაღალი თავისუფლების ხარისხი აქვს. შესაბამისად, კარგი მოდელის მოძებნა არც ისე მარტივია ხოლმე. მაგრამ, ხშირად, ისევე როგორც ბუნების სხვა ნაწილები, ადამიანებიც შეგვიძლია რაიმე მათემატიკური მოდელით აღვწეროთ.

ბოლო ხანებში სხვადასხვა ქვეყანაში კორონავირუსის გავრცელების სტატისტიკას რომ შევხედოთ, აღმოვაჩენთ, რომ დაავადებული ხალხის რიცხვის ზრდის გრაფიკები ძალიან ჰგავს ერთმანეთს.

ცდუნება გიჩნდება, რომ ამ ექვსივე გრაფიკს ერთი და იგივე მათემატიკური ფუნქცია მოაზომო. და ასეც მუშაობს მეცნიერება: ვირჩევთ მოვლენას, ვაგებთ მოდელს და ვადარებთ.

ტექნიკური ნაწილი

ანუ, ვეძებთ ფუნქციას:

$$N(t) = ~?$$

როგორ უნდა ააგო ეპიდემიის გავრცელების მოდელი? ეპიდემია ვრცელდება ადამიანებს შორის კონტაქტით. ამიტომ, რაც მეტი ადამიანია დაავადებული დღეს, მით უფრო მეტ დაავადებულს უნდა ველოდეთ ხვალ იმ მარტივი მიზეზით, რომ 10 დაავადებულ ადამიანს უფრო მეტ ადამიანთან აქვს კონტაქტი, ვიდრე ერთს. ეს გადავწეროთ მათემატიკურად:

$$\frac{dN}{dt} = \lambda N$$

ეს გამოსახულება ითარგმნება ასე: რაც მეტია დაავადებული ადამიანების რაოდენობა, მით მეტია დაავადების გავრცელების სიჩქარეც. \(\lambda\) უბრალოდ პარამეტრია, რომელიც განსაზღვრავს, ერთი დაავადებულისგან საშუალოდ რამდენ ადამიანს გადაედება დაავადება დღეში. რაც მეტია \(\lambda\), მით უფრო სწრაფად ვრცელდება ეპიდემია.

ეს დიფერენციალური განტოლება რომ ამოვხსნათ (დეტალები აპენდიქსში), მივიღებთ ფუნქციას:

$$N(t) = N_0 \cdot d^{t}$$

თითოეული დაავადებული ადამიანი დღეში საშუალოდ \(d = e^\lambda\) რაოდენობის ადამიანს გადასდებს ვირუსს. \(N_0\) არის დაავადებული ადამიანების რიცხვი, როდესაც დროის ათვლას ვიწყებთ. ცხადია, თუ დაავადებულები არ გვყავს, ვერც ვერავის გადასდებენ და \(N(t)=0\). ჩვენი მოდელისთვის \(N_0\) და \(d\) არის პარამეტრები.

ახლა უნდა ვცადოთ, რომ ეს მოდელი ჩვენს მონაცემებს მოვარგოთ. სხვადასხვა ქვეყანაში ვირუსი სხვადასხვანაირად ვრცელდება ანუ სხვადასხვა ქვეყნის გრაფიკს სხვადასხვა \(N_0\) და \(d\) აქვს.

თუ დროს ერთნაირად ავითვლით, \(N_0\) გვეუბნება, რომელ ქვეყანაში უფრო ადრე დაიწყო ვირუსის გავრცელება და რამდენი ადამიანი დაავადდა საწყის ეტაპზე.

რაზეა დამოკიდებული \(d\) პარამეტრი? \(d\) დამოკიდებულია ძალიან ბევრ რამეზე: რამდენად მარტივია ქვეყანაში მიმოსვლა, რამდენად ხშირია თავყრილობები, როგორ იქცევა ხალხი მისალმებისას და ა.შ. მოკლედ, ნებისმიერი ფაქტორი, რომელიც განსაზღვრავს ვირუსის ერთი ადამიანიდან მეორეზე გადადების სიჩქარეს, ჩადებულია \(d\) პარამეტრში.

ნახაზებზე ჩანს, რომ მოდელი მშვენივრად მოერგო ექვსივე სიტუაციას. ახლა შეგვიძლია, ეს მოდელი გამოვიყენოთ იმავე მიზნით, რა მიზნითაც ვიყენებთ ყველა სხვა მოდელს: პროგნოზირება. რაკი აღმოვაჩინეთ, როგორი წესით იზრდება დაავადებულთა რიცხვი თითოეულ ქვეყანაში, შეგვიძლია, წინასწარ განვსაზღვროთ, რამდენი დაავადებული იქნება შემდგომ დღეებში, თუ გარემო პირობები არ შეიცვალა.

ამას ეწოდება ექსტრაპოლაცია.

უნდა გვეშინოდეს თუ არა ზრდის ტემპის?

ექსპონენტურად იზრდება ნებისმიერი გადამდები დაავადება. და თუ ვიცით, როგორ განვკურნოთ, პრობლემაც არაა. ამ ეტაპზე (17 მარტს) კორონავირუსის წამალი არ არსებობს, ამიტომ პლანეტა ერთდროულად ორ ფრონტზე იბრძვის: იკვლევს ვირუსს, რომ წამალი გამოიგონოს და სანამ ეს მოხდება, ცდილობს, დაავადებულთა რიცხვი უფრო და უფრო ნელი ტემპით იზრდებოდეს.

იტალიის მთავრობამ 9 მარტს გამოაცხადა ეროვნული კარანტინი. გრაფიკზე მართლაც ძალიან მკვეთრად ჩანს ეს გადასვლის წერტილი. რა თქმა უნდა, რიცხვები ისევ იზრდება, მაგრამ უფრო ნელა, ვიდრე ეს კარანტინამდე იყო (ცოტა მათემატიკური სიტყვებით: იტალიამ ხელოვნურად შეამცირა ექსპონენტური ზრდის კოეფიციენტი \(d\)). 9 მარტის შემდეგ დაავადებულთა რიცხვი იტალიაში 3-ჯერ გაიზარდა და დღეს 28000-ს აღწევს. ზრდის ტემპი ხელოვნურად რომ არ შემცირებულიყო, იტალიას დღეს 46500 დაავადებული ადამიანი ეყოლებოდა.

ამ პერიოდში საგრძნობლად შეიცვალა ცხოვრების სტილი (და შესაბამისად, ზრდის კოეფიციენტი) სხვა ქვეყნებშიც. ძირითადი ზომები, რასაც დასავლური ქვეყნები მიმართავენ, არის მოუწოდონ ხალხს, დაიცვან ჰიგიენის ზომები, თავი შეიკავონ თავყრილობებისგან და, თუ ეს შესაძლებელია, დარჩნენ სახლში. ამასთან, დროებით დაიხურა ძალიან ბევრი დაწესებულება. შედეგად, ბოლო რამდენიმე დღეა, ამ ქვეყნებში დაავადებულთა რიცხვი უფრო და უფრო ნელა იზრდება.

მაინც, რამდენად შეგვიძლია, შევამციროთ \(d\)? თებერვლის შუა რიცხვებიდან ზრდის ტემპი რადიკალურად შეიცვალა ჩინეთში.

თავდაპირველად, რა თქმა უნდა, ეპიდემიის გავრცელება ექსპონენტურად დაიწყო, ერთი თვის წინ კი გადავიდა შემდგომ ფაზაზე, რომელიც ლოგისტიკური ფუნქციით აღიწერება (მათემატიკური დეტალები აპენდიქსში):

$$N(t) = \frac{P}{1+d^{t_0-t}}$$

\(t_0\) არის დროის ის მომენტი, როცა ზრდის ტემპი კლებას იწყებს, ხოლო \(P\) არის დაავადებულთა მაქსიმალური რიცხვი. თუ ეპიდემიას არაფრით ვეწინააღმდეგებით, \(P\) არის მთლიანი პოპულაცია (იმაზე მეტი ვერ დაავადდება, ვიდრე არსებობს). მაგრამ, საკმარისად მკაცრი შეზღუდვების შემთხვევაში, შეგვიძლია, \(P\) უფრო და უფრო შევამციროთ.

დღეს მოისმენთ, რომ “ჩინეთმა კორონავირუსი დაამარცხა”. რა თქმა უნდა, გადაჭარბებული დებულებაა და რა თქმა უნდა, არ ნიშნავს, რომ ჩინეთმა კორონავირუსი განკურნა. ჩინეთის მთავრობამ მოახერხა ის, რომ დაავადებულთა რიცხვმა ზრდა (თითქმის) შეწყვიტა და \(P \approx 80000\)-ზე გაჯერდა. ეს საკმაოდ შთამბეჭდავია იმის ფონზე, რომ დღეს ჩინეთის მოსახლეობა თითქმის ერთნახევარი მილიარდია.

მიუხედავად იმისა, რომ ზრდის ტემპი ასე საგრძნობლად არ შემცირებულა, ლოგისტიკური ფუნქციისკენ გადახრა მკვეთრად შეინიშნება სამხრეთ კორეის რიცხვებშიც:

შეგვიძლია, ველოდოთ, რომ მსგავსად შეიცვლება სიტუაცია დანარჩენ ქვეყნებშიც. თუ რამდენად სწრაფად მოხდება ეს, დამოკიდებულია ქვეყნის შიდა პოლიტიკასა და ხალხის შესაბამის რეაგირებაზე.

როგორ მოახერხა ჩინეთმა, რომ ასე სწრაფად გადავიდა ლოგისტიკურ ფაზაზე? ჩაიკეტა ქალაქები; სატელეფონო კომპანიებს დაევალათ, აკონტროლონ ადამიანების მოძრაობა ქვეყნის მასშტაბით; გააქტიურდა ვიდეოკამერები, რომლებიც აფიქსირებენ ადამიანების ტემპერატურას და ამოწმებენ, უკეთია თუ არა მას პირბადე. ერთი სიტყვით, ჩინეთის მთავრობა ბევრად უფრო მკაცრად აკონტროლებს მოსახლეობას, ვიდრე ეს აქამდე ხდებოდა.

დასავლური პოლიტიკა საგრძნობლად განსხვავდება ჩინეთის წყობისგან. 11 მარტს ანგელა მერკელმა განაცხადა, რომ საბოლოო ჯამში გერმანიის 60-70% დაავადდება. ეს ერთგვარი მინიშნებაც იყო, რომ გერმანია არ აპირებს, მონიტორინგის ისეთ ზომებს მიმართოს, როგორც ეს დღეს ჩინეთშია. შესაბამისად, მოსალოდნელია, რომ დაავადებულთა რიცხვიც ასე სწრაფად არ შეწყვეტს ზრდას. ეს არ ნიშნავს, რომ გერმანია არაფრით შეეწინააღმდეგება ვირუსის გავრცელებას, მაგრამ გერმანიის, ისევე როგორც დასავლური ქვეყნების უმეტესობის პირველადი სტრატეგია არის, დაწესებულებების დახურვის ფონზე მოუწოდოს მოსახლეობას, მკაცრი ზომები დაიცვან და მიენდოს, რომ ასეც მოიქცევიან.

საქართველო

დღეს (17 მარტს, დილას) საქართველოს მონაცემები ასე გამოიყურება:

\(d=1.15\) ნიშნავს, რომ ყოველ შემდგომ დღეს დაავადებულთა რიცხვი 15%-ით იზრდება.

ამ მონაცემებით, მხოლოდ 34 ადამიანია დაავადებული ქვეყნის მასშტაბით (აქედან, ერთეულები გამოჯანმრთელდნენ). შესაბამისად, სტატისტიკური მონაცემიც ცოტაა და ჩვენი ფუნქცია კარგად არ მოერგება მონაცემებს, სანამ რიცხვები ისე არ გაიზრდება, როგორც ეს სხვა ქვეყნების გრაფიკებზე ვნახეთ. ჯერ ძალიან რთულია, განსაზღვრო, როგორ გაიზრდება ეს რიცხვები, მაგრამ ნათელია, რომ (ისევე, როგორც დასავლეთში) ჯერ კიდევ ზრდის ეტაპზე ვართ.

ამიტომ, ვაკეთებთ იმას, რასაც სხვები: ვიცავთ ჰიგიენას, ვრჩებით სახლებში; ვცდილობთ, ვირუსის ზრდის კოეფიციენტი \(d\) საკმარისად მცირე იყოს, რომ ის დრო, რაც წამლის გამოგონებას დასჭირდება, მაქსიმალურად უმტკივნეულოდ გადავიტანოთ.


მონაცემთა წყაროები:

  1. https://www.worldometers.info/coronavirus/
  2. https://stopcov.gov.ge/

დამატებითი ბმულები:

  1. https://wapo.st/corona-simulator
  2. https://www.youtube.com/watch?v=Kas0tIxDvrg

აპენდიქსი

ექსპონენტური ზრდა

$$\frac{dN}{dt} = \lambda N$$

$$\frac{dN}{N} = \lambda dt$$

$$\int \frac{dN}{N} = \lambda \int dt$$

$$\ln \left( \frac{N(t)}{N_0} \right) = \lambda t$$

$$N(t) = N_0 e^{\lambda t}$$

\(e\) არის ოილერის (ან ნეპერის) რიცხვი. რატომ და როგორაა გამორჩეული, ამაზე მომავალში ვისაუბრებთ. მაგრამ, ამ შემთხვევაში, იმდენად მნიშვნელოვანიც არაა, რამდენადაც ამ გამოსახულებაში თავი მოაქვს. ძალიან მარტივად შეგვიძლია, \(e^\lambda\) რაიმე სხვა რიცხვით, მაგალითად, \(d\) პარამეტრით ჩავანაცვლოთ.

$$e^{\lambda t} = (e^\lambda)^t \equiv d^t$$

ერთადერთი, რაც შეიცვალა, არის პარამეტრი: გვქონდა \(\lambda\) და ახლა გვაქვს \(d\). პარამეტრის განმარტება სულაც არაა მნიშვნელოვანი. მთავარი ისაა, როგორ მონაწილეობს აქ დრო \(t\). ასეთი ხასიათის ფუნქციას, როცა \(t\) არის რაიმე რიცხვის ხარისხი, ეწოდება ექსპონენტური ზრდა.

ლოგისტიკური ფუნქცია

ექსპონენტური ზრდის შემთხვევაში გვქონდა შემდეგი დიფერენციალური განტოლება:

$$\frac{dN}{dt} = \lambda N$$

ამ განტოლების მიხედვით, \(N(t)\) ყოველთვის ზრდადი ფუნქციაა, მაგრამ პრაქტიკაში ეს ასე არ ხდება. როგორც არ უნდა ვრცელდებოდეს დაავადება, შეუძლებელია, დაავადებულთა რიცხვი დედამიწის მოსახლეობაზე მეტი იყოს. რაც უფრო იზრდება \(N(t)\), მით უფრო იკლებს ზრდის ტემპი და რაღაც \(P\) მნიშვნელობაზე ჯერდება. ამიტომ, დიფერენციალურ განტოლებაში გვჭირდება წევრი, რომელიც რაღაც დროის შემდეგ აიძულებს \(N(t)\) ფუნქციას, ზრდის ტემპი შეამციროს. ყველაზე მარტივი მოდელი, რომელიც შეგვიძლია დავწეროთ, არის ლოგისტიკური ფუნქციის დიფერენციალური განტოლება:

$$\frac{dN}{dt} = \lambda N \left( 1 – \frac{N}{P} \right)$$

თუ დააკვირდებით, ზუსტად ის არის, რაც ზემოთ აღვწერეთ: როცა \(N\) საგრძნობლად მცირეა \(P\)-ზე, მაშინ \(1-N/P \approx 1\) და გვაქვს ექსპონენტური ზრდა (საწყის ეტაპზე ზრდა ყოველთვის ექსპონენტურია). ხოლო, როცა \(N\) და \(P\) ერთმანეთს მიუახლოვდება, \(1-N/P \approx 0\) და ზრდა ჩერდება.

$$\frac{dN}{dt} = \lambda \frac{N(P-N)}{P}$$

$$P \frac{dN}{N(P-N)} = \lambda dt$$

$$P \int \frac{dN}{N(P-N)} = \lambda \int dt$$

$$\ln \left( \frac{N(t) (P-N_0)}{N_0(P-N(t))} \right) = \lambda t$$

$$\frac{N(t) (P-N_0)}{N_0(P-N(t))} = e^{\lambda t}$$

ისევ შეეგვიძლია, \(e^\lambda\) აღვნიშნოთ, როგორც \(d\) და \(N_0\) პარამეტრის მაგივრად \(t_0\) გამოვიყენოთ.

$$N(t) (P – N_0) = N_0 (P – N(t)) d^t$$

$$N(t) (P – N_0 + N_0 d^t) = N_0 P d^t$$

$$N(t) = \frac{N_0 P d^t}{P – N_0 + N_0 d^t}$$

$$N(t) = \frac{P d^t}{P/N_0 – 1 + d^t}$$

$$N(t) = \frac{P}{(P/N_0 – 1)d^{-t} + 1}$$

$$\Big[ (P/N_0 – 1) \equiv d^{t_0} \Big] \rightarrow N(t) = \frac{P}{d^{t_0-t} + 1}$$

გიორგი ჭანტურია

6 thoughts on “რატომ ვრცელდება ეპიდემია ექსპონენტურად

  1. საინტერესოა და დიდი მადლობა ამ ბლოგისთვის. თუმცა როგორც ეპიდემიოლოგები ამბობენ, ეპიდემიები უფრო სიგმოიდური ფუნქციით აღიწერება, ვიდრე – ექსპონენტურით: https://twitter.com/EpiEllie/status/1239403469519323137

    ანუ ადრე თუ გვიან, მივიღებთ სამხრეთ კორეის და ჩინეთის ვარიანტს. თუმცა საქმე იმაშია, რამდენად ადრე “გადავტეხავთ წელში” ექსპონენტს…

  2. იმედია მომავალი კვირიდან გადავალთ ლოგისტიკურში

  3. სალამი,
    მადლობა სასარგებლო და საინტერესო ინფორმაციისათვის.
    პატარა დაზუსტება ხომ არ არის საჭირო? დღეში გადადების მაჩვენებელი e^lambda- ს ნაცვლად e^lambda-1 ხომ არ არის? სხვანაირად გამოვა lambda=0 შემთხვევაშიც, დღეში ერთ ადამიანს მაინც უნდა გადაედოს. d=1.15 კი ალბათ ნიშნავს რომ დღეში ერთი ინფიცირებული საშუალოდ 0.15 ადამიანს აავადებს. მგონი ეს არსს არ ცვლის, მგონი უბრალოდ ცვლადის განმარტების დაზუსტებაა საჭირო. გთხოვთ დამიზუსტოთ.

    1. მართალია, d=1.15 ნიშნავს, რომ ერთ დღეში დაავადებულთა რიცხვი 1.15-ჯერ იზრდება. ანუ 15% ემატება.
      ჩავასწორებ, რომ უფრო კორექტულად ეწეროს ^^ მადლობა.

Comments are closed.

Back to top